Vivek Palaniappan

följ

September 23, 2018 · 6 min läs

det här inlägget handlar om förvirringarna hos roterande kroppar och den berömda satsen relaterad till rotationen av styva kroppar kallas tennisracket teorem.

tennisracket-satsen säger att ett objekt med tre unika tröghetsmoment, rotation kring axeln för mellanliggande tröghetsmoment är instabil, medan rotation kring de andra två axlarna är stabil.

Vid första anblicken kan denna sats verka komplicerad, och för dem som inte känner till styv kroppsdynamik, kanske till och med skrämmande. Men som med allt komplicerat verkar det att bryta ner i mindre, mer grundläggande delar belysa vad satsen egentligen betyder. De närmaste delarna av denna artikel med diskutera de olika aspekterna av satsen, och slutligen kommer vi att knyta ihop allt, tillsammans med en demonstration.

tröghetsmoment

tröghetsmoment kan tolkas som rotationsrörelsens motsvarighet till massa. Låt mig förklara: i linjär rörelse beskrivs rörelsen av Newtons andra lag

men i rotationsrörelse ersätts accelerationen med Vinkelacceleration och kraft ersätts med moment (eller vridmoment för amerikanerna). Ersättningen för massa är tröghetsmoment. Så nu Newtons andra lag är skriven som

tröghetsmoment skrivs som jag och för tredimensionella objekt är tröghetsmoment vanligtvis ett tröghetsmoment matris.

de som är bekanta med matriser kanske undrar, vad skulle det innebära att diagonalisera tröghetsmomentet. Om du diagonaliserar tröghetsmomentet får du en matris där det nya koordinatsystemet representerar objektets huvudaxel och diagonala termer är tröghetsmomentet är var och en av dessa axlar. Det finns två sätt att hitta det diagonaliserade tröghetsmomentet. Det enkla sättet är att observera objektets geometri, eftersom ibland (i de flesta vanliga former) är huvudaxlarna uppenbara. Men för att vara rigorös i härledningen kan du använda en standardmatrisdiagonalisering från elementär linjär algebra. The procedure will be as follows

Find the eigenvalues of inertia matrix.

Find eigenvector matrix P of inertia matrix.

  1. Use P-1IP to get diagonalised inertia matrix.

värdena i diagonalmatrisen kommer att göra det möjligt för oss att förstå tennisracket-satsen. För de av er är skarpa kommer du att märka att axeln för mellanliggande tröghetsmoment är egenvektorn för mellanliggande egenvärde.

Euler ekvationer

Newtons andra lag för rotationsrörelse blir mycket komplicerad att arbeta med mycket snabbt. Så Euler använde diagonaliseringen som ett sätt att förenkla och separera de tre ekvationerna i Newtons andra lag. The Euler equations are as follows

Breaking this component wise, in the principal axes

Jag kommer att gå inte djupt in i härledningen, men jag kommer att beskriva tankekedjan. Tänk på denna alternativa version av Newtons lag

att expandera den andra ekvationen ger dig Eulers rörelseekvation för styva kroppar.

förstå satsen

Nu när vi har våra förutsättningar kan vi fortsätta att förstå satsen. Tänk på en tröghetsmatris (diagonaliserad) med tröghetsmoment I1 och I2 och i3 så att I1 är den minsta och i3 är den största. Nu överväga rörelse om axeln av större tröghetsmoment, I3. Låt vinkelhastighetsvektorn vara

där epsilonerna är små störningar i de andra två huvudaxlarna.

Now plugging this into Euler equations, we obtain

Now we differentiate the second Euler equation

Substituting in our expression for omega 1 and omega 3, and since multiplying the epsilons makes it small enough to ignore,

This gives us a differential equation for omega 2 of the form

Whose solution is elementary

därför vet vi att rotationsstörning i omega 1-axeln är stabil och genomgår periodisk rörelse, eller i terminologin för styv kroppsrörelse genomgår den precession.

störningen i omega 3 följer ett liknande argument som ovan, och jag ska lämna det till dig som en övning för att arbeta igenom det.

For the intermediate axis, we have

Plugging into the Euler equations

Differentiating the third Euler equation

Substituting our derived expresssions

Now, when we rearrange, we derive the following differential equation

Notice that the coefficient is now positive, which therefore results in exponential solutions

denna lösning visar att omega 3 är instabil under störning av omega 2 längs mellanaxeln.

slutsats

Nu kan vi knyta allt som vi har härlett och lärt oss att förstå satsen. Enkelt uttryckt, när rotationen längs mellanaxeln störs, resulterar det i en differentialekvation som har exponentiella lösningar. Detta resulterar i instabil rörelse, i motsats till den precessiva rörelsen som observeras i de andra två axlarna.

detta resultat är ganska överraskande. Det finns inget intuitivt stöd till en sådan sats eftersom vi inte kan tänka på varför det mellanliggande tröghetsmomentet skulle resultera i instabil rotation. Det verkar som om det är rent matematiskt.

men om vi försöker tvinga någon form av intuition i resonemanget för denna sats, kommer vi fram till följande vaga ide:

När det finns en störning i rotationen längs huvud-eller minoraxeln, verkar systemet för att minska störningen, tillsammans med störningen i de två andra axlarna som bildar ett sinus-och cosinuspar som negerar varandra. Detta orsakar precession. Men när det finns en störning i rotationen längs mellanaxeln, verkar systemet för att öka störningen. Med andra ord förstärker störningen i de andra två axlarna varandra och ökar exponentiellt och skapar instabil rotation.

om du vill se denna sats i aktion, plocka upp din telefon, se till att du har ett robust telefonhölje och börja vända telefonen på alla tre axlarna. Du kommer att märka att i en av axlarna kommer rotationen att vara kaotisk, och nu kommer du att veta anledningen till det!

Lämna ett svar

Din e-postadress kommer inte publiceras.