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この投稿は、回転体の困惑と剛性の回転に関連する有名な定理についてです テニスラケットの定理と呼ばれるものがあります。テニスラケットの定理は、慣性の三つのユニークなモーメントを持つオブジェクトは、他の二つの軸周りの回転が安定している間、慣性の中間モーメントの軸

一見すると、この定理は複雑に見えるかもしれませんし、剛体のダイナミクスに慣れていない人にとっては、おそらく困難 しかし、複雑なものと同様に、より小さく、より基本的な部分に分解することは、定理が実際に何を意味するのかを解明しているようです。 この記事の次のいくつかの部分は、定理の様々な側面を議論し、最後に、我々はデモと一緒に、一緒にすべてを結びます。慣性モーメント

慣性モーメントは、質量に対応する回転運動として解釈することができます。

慣性モーメント

慣性モーメントは、質量に対応する回転運動として解釈することができます。 私は説明してみましょう: 直線運動では、運動はニュートンの第二法則によって記述されます

しかし、回転運動では、加速度は角加速度に置き換えられ、力はモーメント(またはアメリカ人の場合はトルク)に置き換えられます。 質量の代わりに慣性モーメントがあります。 だから今ニュートンの第二法則は次のように書かれています

慣性モーメントはiと書かれ、三次元オブジェクトの場合、慣性モーメントは通常慣性行列のモーメントです。行列に精通している人は、慣性モーメント行列を対角化することは何を意味するのだろうかと疑問に思うかもしれません。

行列に精通している人は、 慣性モーメント行列を対角化すると、新しい座標系がオブジェクトの主軸を表し、対角項が慣性モーメントがそれらの軸のすべてである行列が得られ 対角化された慣性モーメント行列を見つけるには2つの方法があります。 簡単な方法は、(最も一般的な形状では)主軸が明らかであることがあるため、オブジェクトの幾何学的形状を観察することです。 しかし、導出を厳密にするために、初等線形代数からの標準行列対角化を使用することができます。 The procedure will be as follows

Find the eigenvalues of inertia matrix.

Find eigenvector matrix P of inertia matrix.

  1. Use P-1IP to get diagonalised inertia matrix.

対角行列の値テニスラケットの定理を理解できるようになります あなたが鋭い人のために、あなたは中間慣性モーメントの軸が中間固有値の固有ベクトルであることに気付くでしょう。

オイラー方程式

回転運動のためのニュートンの第二法則は、非常に高速で動作するように非常に複雑になります。 そのため、オイラーは、ニュートンの第二法則の3つの方程式を単純化して分離する方法として対角化を使用しました。 The Euler equations are as follows

Breaking this component wise, in the principal axes

私は導出に深さに行くことはありませんが、私はチェーン思考の。 ニュートンの法則のこの代替バージョンを考えてみましょう

第二の方程式を展開すると、リジッドボディのオイラーの運動方程式が得られます。

定理を理解する

前提条件が整ったので、定理を理解することができます。 慣性モーメントI1とI2とI3を持つ慣性行列(対角化)を考えて、I1が最小でI3が最大であるようなものを考えてみましょう。 ここで、主慣性モーメントI3の軸を中心とした運動を考えてみましょう。 角速度ベクトルを

ここで、エプシロンは他の二つの主軸における小さな摂動である。

Now plugging this into Euler equations, we obtain

Now we differentiate the second Euler equation

Substituting in our expression for omega 1 and omega 3, and since multiplying the epsilons makes it small enough to ignore,

This gives us a differential equation for omega 2 of the form

Whose solution is elementary

したがって、オメガ1軸における回転の摂動は安定しており、周期的な運動を受ける、または剛体運動の用語では、歳差運動を受けることがわかっている。オメガ3の摂動は上記と同様の議論に従います、そして、私はそれを働かせるための練習としてあなたにそれを任せます。

For the intermediate axis, we have

Plugging into the Euler equations

Differentiating the third Euler equation

Substituting our derived expresssions

Now, when we rearrange, we derive the following differential equation

Notice that the coefficient is now positive, which therefore results in exponential solutions

この解は、オメガ3が中間軸に沿ってオメガ2の摂動の下で不安定であることを示しています。

結論

今、私たちが導出し、定理を理解することを学んだすべてのものを結びつけることができます。 簡単に言えば、中間軸に沿った回転が摂動されると、指数解を持つ微分方程式が得られます。 これは、他の二つの軸で観察されたprecessive運動とは対照的に、不安定な運動をもたらします。この結果はかなり驚くべきものです。

中間慣性モーメントが不安定な回転をもたらす理由を考えることができないので、そのような定理への直感的な裏付けはありません。 それは本質的に純粋に数学的であるかのようです。しかし、この定理の推論に何らかの形の直感を強制しようとすると、次の漠然とした考えに到達します。

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長軸または短軸に沿った回転に摂動がある場合、システムは正弦と余弦のペアを形成する他の二つの軸の摂動と一緒に摂動を減 これは歳差運動を引き起こす。 しかし、中間軸に沿った回転に摂動がある場合、システムは摂動を増加させるように作用する。 言い換えれば、他の2つの軸の摂動は互いに補強し、指数関数的に増加し、不安定な回転を引き起こす。この定理を実際に見たい場合は、携帯電話を手に取り、頑丈な携帯電話カバーがあることを確認し、3つの軸すべてで携帯電話を反転させます。

あなたの携帯電話を手に取り、頑丈な携帯電話カバーを持っていることを確認してください。 あなたは軸の1つで回転が混沌としていることに気付くでしょう、そして今、あなたはその理由を知るでしょう!

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