Vivek Palaniappan

Kövesse

Sep 23, 2018 · 6 min olvassa el a

Ez a poszt arról, hogy a perplexities a forgó testek, valamint a híres tétel kapcsolódó, hogy a forgatás merev a teniszütő tételnek nevezett testek.

a teniszütő tétel kimondja, hogy egy objektum három egyedi tehetetlenségi pillanattal, a köztes tehetetlenségi nyomaték tengelye körüli forgás instabil, míg a másik két tengely körüli forgás stabil.

első pillantásra ez a tétel bonyolultnak tűnhet, és azok számára, akik nem ismerik a merev test dinamikáját, talán még ijesztő is. Ugyanakkor, mint bármi bonyolultnál, úgy tűnik, hogy a kisebb, alapvetőbb részekre bontás tisztázza, mit jelent a tétel valójában. A cikk következő néhány része a tétel különböző aspektusait tárgyalja, végül pedig mindent összekapcsolunk, egy demonstrációval együtt.

Tehetetlenségi nyomaték

a tehetetlenségi nyomaték a tömeg forgási mozgásának megfelelőjeként értelmezhető. Hadd magyarázzam el: lineáris mozgásban a mozgást Newton második törvénye írja le

forgási mozgásban azonban a gyorsulást szöggyorsulás váltja fel, az erőt pedig pillanat (vagy az amerikaiak nyomatéka) váltja fel. A tömeg helyettesítése tehetetlenségi nyomaték. Tehát most Newton második törvénye a következőképpen íródott:

a tehetetlenségi nyomatékot I-ként írják, háromdimenziós tárgyak esetében a tehetetlenségi nyomaték általában tehetetlenségi mátrix.

azok, akik ismerik a mátrixokat, elgondolkodhatnak azon, hogy mit jelent a tehetetlenségi Momentum mátrix átlós átalakítása. Ha átlózza a tehetetlenségi nyomaték mátrixát, akkor kap egy mátrixot, ahol az új koordináta-rendszer képviseli az objektum fő tengelyét, és az átlós kifejezések a tehetetlenségi nyomaték mindegyik tengely. Kétféle módon lehet megtalálni az átlós tehetetlenségi nyomaték mátrixot. Az egyszerű módszer az objektum geometriájának megfigyelése, mivel néha (a leggyakoribb alakzatokban) a fő tengelyek nyilvánvalóak. Ahhoz azonban, hogy szigorú legyen a levezetésben, használhat egy standard mátrix átlót elemi lineáris algebra. The procedure will be as follows

Find the eigenvalues of inertia matrix.

Find eigenvector matrix P of inertia matrix.

  1. Use P-1IP to get diagonalised inertia matrix.

az átlós mátrix értékei lehetővé teszik számunkra a teniszütő tétel megértését. Azok számára, akik élesek, észre fogja venni, hogy a köztes tehetetlenségi nyomaték tengelye a köztes sajátérték sajátvektora.

Euler-egyenletek

Newton forgási mozgásra vonatkozó második törvénye nagyon bonyolult lesz nagyon gyorsan dolgozni. Tehát Euler az átlót használta Newton második törvényének három egyenletének egyszerűsítésére és elválasztására. The Euler equations are as follows

Breaking this component wise, in the principal axes

nem fogok mélyebben belemenni a levezetésbe, de felvázolom a gondolat láncolatát. Fontolja meg, ez a másik változat, a Newton-törvény

Bővül a második egyenlet ad Euler egyenlet a mozgás, a merev testek.

A tétel megértése

most, hogy megvannak az előfeltételeink, folytathatjuk a tétel megértését. Vegyünk egy tehetetlenségi mátrixot (átlós) I1, I2 és I3 tehetetlenségi nyomatékkal úgy, hogy I1 a legkisebb és I3 a legnagyobb. Most fontolja meg a mozgást a fő tehetetlenségi nyomaték tengelye körül, I3. Legyen a szögsebesség vektor

ahol az epszilonok a másik két fő tengely kis zavarai.

Now plugging this into Euler equations, we obtain

Now we differentiate the second Euler equation

Substituting in our expression for omega 1 and omega 3, and since multiplying the epsilons makes it small enough to ignore,

This gives us a differential equation for omega 2 of the form

Whose solution is elementary

ezért tudjuk, hogy a forgás zavara az omega 1 tengelyben stabil és periodikus mozgáson megy keresztül, vagy a merev testmozgás terminológiájában precesszió.

az omega 3 perturbációja hasonló érvet követ, mint fent, és ezt neked hagyom, mint gyakorlatot, hogy átdolgozzam.

For the intermediate axis, we have

Plugging into the Euler equations

Differentiating the third Euler equation

Substituting our derived expresssions

Now, when we rearrange, we derive the following differential equation

Notice that the coefficient is now positive, which therefore results in exponential solutions

ez a megoldás azt mutatja, hogy az omega 3 instabil az omega 2 zavarása alatt a közbenső tengely mentén.

következtetés

most már mindent összekapcsolhatunk, amit levezetettünk és megtanultunk megérteni a tételt. Egyszerűen fogalmazva, amikor a köztes tengely mentén történő forgás megzavarodik, az exponenciális megoldásokkal rendelkező differenciálegyenletet eredményez. Ez instabil mozgást eredményez, ellentétben a másik két tengelyben megfigyelt precesszív mozgással.

Ez az eredmény meglehetősen meglepő. Egy ilyen tételnek nincs intuitív háttere, mivel nem gondolhatunk arra, hogy a köztes tehetetlenségi nyomaték miért eredményez instabil forgást. Úgy tűnik, mintha pusztán matematikai jellegű lenne.

Ha azonban megpróbálunk valamilyen intuíciót kényszeríteni ennek a tételnek az érvelésére, akkor a következő homályos ötlethez jutunk:

Ha a fő-vagy minortengely mentén perturbáció lép fel, a rendszer csökkenti a perturbációt, valamint a két másik tengely perturbációját, amely szinusz-és koszinuszpárt képez, elutasítva egymást. Ez precessziót okoz. Ha azonban a közbenső tengely mentén a forgásban perturbáció van, a rendszer növeli a perturbációt. Más szavakkal, a másik két tengely perturbációja megerősíti egymást, exponenciálisan növekszik, instabil forgást hozva létre.

Ha ezt a tételt működés közben szeretné látni, vegye fel a telefonját, győződjön meg róla, hogy van egy erős telefonfedele, és indítsa el a telefont mindhárom tengelyén. Észre fogja venni, hogy az egyik tengelyen a forgás kaotikus lesz, és most tudni fogja, miért!

Vélemény, hozzászólás?

Az e-mail-címet nem tesszük közzé.