Vivek Palaniappan

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23 septembre 2018 · 6 min de lecture

Cet article concerne les perplexités des corps en rotation et le célèbre théorème lié à la rotation des corps rigides corps appelés le Théorème de la raquette de tennis.

Le théorème de la raquette de tennis stipule qu’un objet avec trois moments d’inertie uniques, la rotation autour de l’axe du moment d’inertie intermédiaire est instable, tandis que la rotation autour des deux autres axes est stable.

À première vue, ce théorème peut sembler compliqué, et pour ceux qui ne connaissent pas la dynamique du corps rigide, peut-être même intimidant. Cependant, comme pour tout ce qui est compliqué, la décomposition en parties plus petites et plus fondamentales semble élucider ce que signifie réellement le théorème. Les prochaines parties de cet article discutent des différents aspects du théorème, et enfin nous allons tout lier, avec une démonstration.

Moment d’inertie

Le moment d’inertie peut être interprété comme la contrepartie du mouvement de rotation à la masse. Laissez-moi vous expliquer: en mouvement linéaire, le mouvement est décrit par la Deuxième Loi de Newton

Cependant, en mouvement de rotation, l’accélération est remplacée par une accélération angulaire et la force est remplacée par un moment (ou un couple pour les Américains). Le remplacement de la masse est le moment d’inertie. Alors maintenant, la deuxième loi de Newton est écrite comme

Le moment d’inertie s’écrit I et pour les objets tridimensionnels, le moment d’inertie est généralement une matrice de moment d’inertie.

Ceux qui connaissent les matrices peuvent se demander ce que cela signifierait de diagonaliser la matrice de moment d’inertie. Si vous diagonalisez la matrice de moment d’inertie, vous obtiendrez une matrice où le nouveau système de coordonnées représente l’axe principal de l’objet et les termes diagonaux sont le moment d’inertie est chacun de ces axes. Il y a deux façons de trouver la matrice de moment d’inertie diagonalisée. Le moyen le plus simple est d’observer la géométrie de l’objet, car parfois (dans la plupart des formes courantes) les axes principaux sont évidents. Cependant, pour être rigoureux dans la dérivation, vous pouvez utiliser une diagonalisation matricielle standard à partir de l’algèbre linéaire élémentaire. The procedure will be as follows

Find the eigenvalues of inertia matrix.

Find eigenvector matrix P of inertia matrix.

  1. Use P-1IP to get diagonalised inertia matrix.

Les valeurs de la matrice diagonale vont nous permettre de comprendre le Théorème de la raquette de tennis. Pour ceux d’entre vous qui sont pointus, vous remarquerez que l’axe du moment d’inertie intermédiaire est le vecteur propre de la valeur propre intermédiaire.

Équations d’Euler

La deuxième loi de Newton pour le mouvement de rotation devient très compliquée à travailler très rapidement. Euler a donc utilisé la diagonalisation comme un moyen de simplifier et de séparer les trois équations de la deuxième loi de Newton. The Euler equations are as follows

Breaking this component wise, in the principal axes

iv je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je ne suis pas en mesure de le faire. Je n’irai pas en profondeur dans la dérivation, mais je décrirai la chaîne de la pensée. Considérez cette version alternative de la loi de Newton

L’expansion de la deuxième équation vous donnera l’équation de mouvement d’Euler pour les corps rigides.

Comprendre le théorème

Maintenant que nous avons nos conditions préalables, nous pouvons continuer à comprendre le théorème. Considérons une matrice d’inertie (diagonalisée) avec des moments d’inertie I1 et I2 et I3 tels que I1 est le plus petit et I3 est le plus grand. Considérons maintenant le mouvement autour de l’axe du moment d’inertie majeur, I3. Soit le vecteur vitesse angulaire

où les epsilons sont de petites perturbations dans les deux autres axes principaux.

Now plugging this into Euler equations, we obtain

Now we differentiate the second Euler equation

Substituting in our expression for omega 1 and omega 3, and since multiplying the epsilons makes it small enough to ignore,

This gives us a differential equation for omega 2 of the form

Whose solution is elementary

Par conséquent, nous savons que la perturbation de la rotation dans l’axe oméga 1 est stable et subit un mouvement périodique, ou dans la terminologie du mouvement du corps rigide, elle subit précession.

La perturbation dans les oméga 3 suit un argument similaire à celui ci-dessus, et je vous le laisserai comme un exercice pour y parvenir.

For the intermediate axis, we have

Plugging into the Euler equations

Differentiating the third Euler equation

Substituting our derived expresssions

Now, when we rearrange, we derive the following differential equation

Notice that the coefficient is now positive, which therefore results in exponential solutions

Cette solution montre que les oméga 3 sont instables sous perturbation des oméga 2 le long de l’axe intermédiaire.

Conclusion

Maintenant, nous pouvons lier tout ce que nous avons dérivé et appris pour comprendre le théorème. En termes simples, lorsque la rotation le long de l’axe intermédiaire est perturbée, il en résulte une équation différentielle qui a des solutions exponentielles. Il en résulte un mouvement instable, contrairement au mouvement précessif observé dans les deux autres axes.

Ce résultat est assez surprenant. Il n’y a pas de support intuitif à un tel théorème car nous ne pouvons pas penser pourquoi le moment intermédiaire d’inertie entraînerait une rotation instable. Il semble que ce soit de nature purement mathématique.

Cependant, si nous essayons de forcer une certaine forme d’intuition dans le raisonnement de ce théorème, nous arrivons à l’idée vague suivante:

Lorsqu’il y a une perturbation dans la rotation le long de l’axe majeur ou mineur, le système agit pour diminuer la perturbation, ainsi que la perturbation dans les deux autres axes formant une paire sinus et cosinus, s’annulant mutuellement. Cela provoque une précession. Cependant, lorsqu’il y a une perturbation dans la rotation le long de l’axe intermédiaire, le système agit pour augmenter la perturbation. En d’autres termes, la perturbation dans les deux autres axes se renforce et augmente de façon exponentielle, créant une rotation instable.

Si vous voulez voir ce théorème en action, décrochez votre téléphone, assurez-vous d’avoir une couverture de téléphone robuste et commencez à retourner votre téléphone sur ses trois axes. Vous remarquerez que dans l’un des axes, la rotation sera chaotique, et maintenant vous en saurez la raison!

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