Vivek Palaniappan

Follow
Sep 23, 2018 · 6 min read

tämä postaus käsittelee pyörivien kappaleiden epäselvyyksiä ja jäykkien kiertoon liittyvää kuuluisaa teoreemaa kehoja kutsutaan tennismailan Teoreemaksi.

tennismailan teoreeman mukaan kappale, jolla on kolme ainutlaatuista hitausmomentin momenttia, pyöriminen väli-hitausmomentin akselin ympäri on epävakaata, kun taas pyöriminen kahden muun akselin ympäri on vakaata.

ensi silmäyksellä tämä lause voi tuntua monimutkaiselta ja jäykälle kehon dynamiikalle vieraista jopa pelottavalta. Kuitenkin, kuten mitään monimutkaista, hajottaa pienempiin, enemmän perustavanlaatuisia osia näyttää selventämään, mitä lause todella tarkoittaa. Seuraavassa osassa tämän artikkelin kanssa keskustella eri näkökohtia lause, ja lopuksi me sitoa yhteen kaiken, yhdessä esittelyn.

hitausmomentti

hitausmomentti voidaan tulkita pyörimisliikkeen vastinpariksi massalle. Anna kun selitän.: lineaarisessa liikkeessä liikettä kuvaa Newtonin toinen laki

kuitenkin pyörimisliikkeessä kiihtyvyys korvataan kulmakiihtyvyydellä ja voima korvataan momentilla (tai amerikkalaisilla vääntömomentilla). Massan korvaa hitausmomentti. Nyt siis Newtonin toinen laki kirjoitetaan seuraavasti:

hitausmomentti kirjoitetaan I: nä ja kolmiulotteisissa kohteissa hitausmomentti on yleensä hitausmatriisin momentti.

matriiseihin perehtyneet saattavat pohtia, mitä hitausmatriisin diagonalisointi merkitsisi. Jos diagonalisoidaan hitausmatriisi, saadaan matriisi, jossa uusi koordinaatisto edustaa kohteen pääakselia ja diagonaalitermit ovat hitausmomentti on jokainen näistä akseleista. Diagonalisoituneen hitausmatriisin voi löytää kahdella tavalla. Helppo tapa on havainnoida kohteen geometriaa, sillä joskus (tavallisimmissa muodoissa) pääakselit ovat ilmeisiä. Jotta derivointi olisi tiukkaa, voidaan kuitenkin käyttää standardimatriisin vinorivikaatiota alkeis-lineaarialgebrasta. The procedure will be as follows

Find the eigenvalues of inertia matrix.

Find eigenvector matrix P of inertia matrix.

  1. Use P-1IP to get diagonalised inertia matrix.

diagonaalimatriisin arvot mahdollistavat tennismailalauseen ymmärtämisen. Jos olette teräviä, huomaatte, että väli-hitausmomentin akseli on väli-eigenvektori.

Eulerin yhtälöt

Newtonin toinen laki pyörimisliikkeelle muuttuu hyvin monimutkaiseksi toimiakseen hyvin nopealla. Niinpä Euler käytti diagonalisaatiota keinona yksinkertaistaa ja erottaa Newtonin toisen lain kolme yhtälöä. The Euler equations are as follows

Breaking this component wise, in the principal axes

i will en mene syvällisesti johdantoon, mutta hahmottelen ajatusketjun. Harkitse tätä vaihtoehtoista versiota Newtonin laista

toisen yhtälön laajentamalla saadaan Eulerin liikeyhtälö jäykille kappaleille.

lauseen ymmärtäminen

nyt kun meillä on ehtomme, voimme jatkaa lauseen ymmärtämistä. Tarkastellaan hitausmatriisia (diagonalisoitu), jossa hitausmomentti I1 ja I2 ja I3 siten, että I1 on pienin ja I3 on suurin. Tarkastellaan liikettä suuren hitausmomentin i3 akselin ympäri. Olkoon kulmanopeusvektori

, jossa epsilonit ovat pieniä häiriöitä kahdessa muussa pääakselissa.

Now plugging this into Euler equations, we obtain

Now we differentiate the second Euler equation

Substituting in our expression for omega 1 and omega 3, and since multiplying the epsilons makes it small enough to ignore,

This gives us a differential equation for omega 2 of the form

Whose solution is elementary

näin ollen tiedämme, että kiertoliike omega 1-akselilla on stabiili ja se käy läpi jaksollisen liikkeen, tai jäykän kappaleen liikkeen terminologiassa se käy läpi Prekessio.

omega 3: n häiriö seuraa samanlaista argumenttia kuin edellä, ja jätän sen sinulle harjoituksena työstämään sitä.

For the intermediate axis, we have

Plugging into the Euler equations

Differentiating the third Euler equation

Substituting our derived expresssions

Now, when we rearrange, we derive the following differential equation

Notice that the coefficient is now positive, which therefore results in exponential solutions

tämä liuos osoittaa, että omega 3 on epästabiili omega 2: n häiritessä väli-akselia pitkin.

johtopäätös

nyt voidaan sitoa kaikki, mitä on saatu ja opittu ymmärtämään lause. Yksinkertaisesti sanottuna, kun kierto väli-akselia pitkin on häiriintynyt, tuloksena on differentiaaliyhtälö, jolla on eksponentiaalisia ratkaisuja. Tämä johtaa epävakaaseen liikkeeseen, toisin kuin kahdella muulla akselilla havaittu preesessiivinen liike.

tämä tulos on varsin yllättävä. Ei ole intuitiivista tukea tällaiselle teoreemalle, koska emme voi ajatella, miksi väliajan hitausmomentti johtaisi epävakaaseen kiertoon. Näyttää siltä, että se on puhtaasti matemaattinen luonteeltaan.

kuitenkin, jos yritämme pakottaa jonkinlaisen intuition tämän lauseen päättelyyn, päädymme seuraavaan epämääräiseen ajatukseen:

kun pyörimisliikkeessä on häiriötä pää-tai molliakselia pitkin, systeemi toimii häiriön pienentämiseksi yhdessä kahden muun akselin sini-ja kosiniparin muodostavan häiriön kanssa, jotka negoivat toisensa. Tämä aiheuttaa prekession. Kun kiertoliikkeessä on väli-akselin suuntaista häiriötä, systeemi kuitenkin lisää häiriötä. Toisin sanoen kahden muun akselin häiriö vahvistaa toisiaan ja kasvaa eksponentiaalisesti luoden epävakaan pyörimisen.

Jos haluat nähdä tämän lauseen toiminnassa, ota puhelin käteesi, varmista, että sinulla on tukeva puhelimen kansi ja ala kääntää puhelinta kaikilla kolmella sen akselilla. Huomaat, että yhdessä akseleista pyöriminen on kaoottista, ja nyt tiedät syyn siihen!

Vastaa

Sähköpostiosoitettasi ei julkaista.