Vivek Palaniappan

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Sep 23, 2018 · 6 min de lectura

Este post es sobre las perplejidades de los cuerpos en rotación y el famoso teorema relacionado con la rotación del sólido rígido cuerpos llamados Teorema de la Raqueta de Tenis.

El teorema de la raqueta de tenis establece que un objeto con tres momentos únicos de inercia, la rotación sobre el eje del momento intermedio de inercia es inestable, mientras que la rotación sobre los otros dos ejes es estable.

A primera vista, este teorema puede parecer complicado, y para aquellos que no están familiarizados con la dinámica del cuerpo rígido, tal vez incluso desalentador. Sin embargo, como con cualquier cosa complicada, descomponerse en partes más pequeñas y fundamentales parece dilucidar lo que el teorema realmente significa. Las siguientes partes de este artículo con discutir los diversos aspectos del teorema, y finalmente vamos a unir todo, junto con una demostración.

Momento de inercia

El momento de inercia puede interpretarse como la contraparte del movimiento de rotación a la masa. Déjame explicarte: en movimiento lineal, el movimiento se describe mediante la Segunda Ley de Newton

Sin embargo, en movimiento de rotación, la aceleración se reemplaza por aceleración angular y la fuerza se reemplaza por momento (o par para los estadounidenses). El reemplazo de la masa es el momento de inercia. Así que ahora la segunda Ley de Newton se escribe como

El momento de inercia es escrito como yo y para objetos tridimensionales, el momento de inercia es generalmente de un momento de inercia de la matriz.

Aquellos familiarizados con las matrices podrían preguntarse, qué significaría diagonalizar la matriz de momento de inercia. Si diagonalizas la matriz de momento de inercia, obtendrás una matriz donde el nuevo sistema de coordenadas representa el eje principal del objeto y los términos diagonales son el momento de inercia es cada uno de esos ejes. Hay dos maneras de encontrar la matriz de momento de inercia diagonalizada. La manera fácil es observar la geometría del objeto, ya que a veces (en la mayoría de las formas comunes) los ejes principales son obvios. Sin embargo, para ser riguroso en la derivación, puede usar una diagonalización de matriz estándar a partir de álgebra lineal elemental. The procedure will be as follows

Find the eigenvalues of inertia matrix.

Find eigenvector matrix P of inertia matrix.

  1. Use P-1IP to get diagonalised inertia matrix.

Los valores en la diagonal de la matriz se nos va a permitir entender la Raqueta de Tenis Teorema. Para aquellos de ustedes que son agudos, notarán que el eje del momento intermedio de inercia es el vector propio del valor propio intermedio.

Ecuaciones de Euler

La segunda ley de Newton para el movimiento de rotación es muy complicada de trabajar muy rápido. Euler usó la diagonalización como una forma de simplificar y separar las tres ecuaciones de la segunda ley de Newton. The Euler equations are as follows

Breaking this component wise, in the principal axes

no voy a entrar en profundidad en la derivación, pero voy a describir la cadena de pensamiento. Considerar esta versión alternativa de la ley de Newton

la Expansión de la segunda ecuación se dará de Euler de la ecuación de movimiento para cuerpos rígidos.

Entendiendo el teorema

Ahora que tenemos nuestros prerrequisitos, podemos pasar a entender el teorema. Considere una matriz de inercia (diagonalizada) con momento de inercia I1 e I2 e I3 de tal manera que I1 es el más pequeño e I3 es el más grande. Ahora considere el movimiento sobre el eje del momento mayor de inercia, I3. Deje que la velocidad angular del vector de ser

donde el epsilons son pequeñas perturbaciones en los otros dos ejes principales.

Now plugging this into Euler equations, we obtain

Now we differentiate the second Euler equation

Substituting in our expression for omega 1 and omega 3, and since multiplying the epsilons makes it small enough to ignore,

This gives us a differential equation for omega 2 of the form

Whose solution is elementary

Por lo tanto, sabemos que la perturbación de la rotación en el eje omega 1 es estable y sufre un movimiento periódico, o en la terminología de movimiento de cuerpo rígido, sufre precesión.

La perturbación en el omega 3 sigue un argumento similar al anterior, y se lo dejaré a usted como un ejercicio para trabajarlo.

For the intermediate axis, we have

Plugging into the Euler equations

Differentiating the third Euler equation

Substituting our derived expresssions

Now, when we rearrange, we derive the following differential equation

Notice that the coefficient is now positive, which therefore results in exponential solutions

Esta solución muestra que el omega 3 es inestable bajo la perturbación de omega 2 a lo largo del eje intermedio.

Conclusión

Ahora, podemos atar todo lo que hemos derivado y aprendido a entender el teorema. En pocas palabras, cuando la rotación a lo largo del eje intermedio se perturba, resulta en una ecuación diferencial que tiene soluciones exponenciales. Esto resulta en un movimiento inestable, contrario al movimiento precesivo observado en los otros dos ejes.

Este resultado es bastante sorprendente. No hay un respaldo intuitivo a tal teorema, ya que no podemos pensar por qué el momento intermedio de inercia resultaría en una rotación inestable. Parece que es de naturaleza puramente matemática.

Sin embargo, si tratamos de forzar alguna forma de intuición en el razonamiento de este teorema, llegamos a la siguiente idea vaga:

Cuando hay una perturbación en la rotación a lo largo del eje mayor o menor, el sistema actúa para disminuir la perturbación, junto con la perturbación en los otros dos ejes formando un par seno y coseno, negándose entre sí. Esto causa precesión. Sin embargo, cuando hay una perturbación en la rotación a lo largo del eje intermedio, el sistema actúa para aumentar la perturbación. En otras palabras, la perturbación en los otros dos ejes se refuerza y aumenta exponencialmente, creando una rotación inestable.

Si quieres ver este teorema en acción, coge tu teléfono, asegúrate de tener una funda de teléfono resistente y empieza a girar el teléfono en los tres ejes. Notarás que en uno de los ejes, la rotación será caótica, ¡y ahora sabrás la razón del por qué!

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