La Matemática Armoniosa de la Música | Ciencia 4All

Según la leyenda, el antiguo Pitágoras griego caminaba una vez por las calles de Samos, cuando los sonidos de los martillazos de los herreros de repente le dieron una epifanía. Pitágoras se apresuró a entrar en la tienda y, mientras analizaba matemáticamente las formas de los martillos de los herreros, sentó las bases de la música que Rihanna, Shakira y otros están construyendo hoy en día.

– Espera un minuto… ¿estás hablando del tipo del teorema de Pitágoras?

Lo soy. Y a pesar de lo que has aprendido en la escuela, este teorema de Pitágoras no es en absoluto la mejor idea de Pitágoras, sobre todo porque probablemente ni siquiera fue él quien ideó el teorema de Pitágoras. Al menos, eso es lo que pienso: la idea más grande de Pitágoras fue la matematización de la música, cuyas estructuras armoniosas serían más tarde el patio de recreo de los mejores músicos como Ludwig van Beethoven (¡llegaremos allí!), o como el brillante matemático Vi Hart:

He sido un poco reacio a escribir este artículo al principio porque soy muy, muy mala en música. Nunca he tomado ninguna clase de música, no toco ningún instrumento y canto horriblemente falso-en serio, ¡no me pidas que cante! Pero disfruto escuchando música especially ¡especialmente porque he descubierto las estructuras matemáticas fundamentales de las matemáticas! ¡Supongo que es un ejemplo asombroso de cómo las matemáticas me han permitido apreciar mucho un arte al que nunca presté suficiente atención!

La Perfección de las octavas

Según la historia, cuando Pitágoras comenzó a jugar con martillos, notó que dos de ellos eran particularmente armoniosos entre sí. Midió el peso de estos martillos y descubrió algo absolutamente sorprendente.

¿Qué saber?

¡El más pesado de los dos martillos era exactamente el doble del peso del más ligero! Exactamente dos veces.

Exactamente dos veces? ¿Por qué?

¡Lo sé! ¿Cuáles eran las probabilidades? Pitágoras se había centrado en estos martillos únicamente por consideraciones estéticas musicales. Y, sin embargo, de este gusto personal de armonía musical, surgió una proporción perfecta de 2.

De acuerdo, en realidad, esta hermosa historia es probablemente apócrifa But Pero ¿hay una historia de Pitágoras que no sea apócrifa?

Eso es muy sorprendente!e intrigante!

¡Lo sé! De hecho, fue tan limpio que Pitágoras continuó afirmando que los números enteros gobernaban el mundo, lo que aparentemente llevó a su «escuela de filosofía» a ahogar a Hipaso de Metapontum, ¡porque Hipaso afirmaba haber encontrado algún número de proporción no perfecta en el reino supuestamente perfecto de la geometría!

Descubre más con mi artículo sobre números y constructibilidad.

Entonces, ¿hay una explicación de esta relación de 2?

Para entender esta proporción, Pitágoras dirigió su atención al instrumento musical más simple: una cuerda. ¿Podría ser que la proporción de 2 aplicada a la cuerda también permita cierta armonía musical? Hay armonía entre la vibración de la cuerda y, por ejemplo, la vibración de la mitad de la cuerda?

¿Existe?

Hay. Hoy en día, esta armonía esencial se llama octava. De hecho, las octavas son tan importantes en la música que le dimos el mismo nombre a dos notas separadas por una octava. Sabes? $A$, $B$, $C$, $, D$, $E$, $F$, $G$… Dos $C$ son separados por exactamente una octava. Si son notas tocadas por una cuerda, una corresponde a una cuerda exactamente el doble de la longitud de la otra.

Bien, fue una pequeña mentira. En realidad, lo que importa no es la longitud de la cuerda, sino la frecuencia con la que vibra. Cuanto mayor sea esta frecuencia, mayor será el tono de la nota. Resulta que para la mayoría de las cuerdas (musicales), es una buena aproximación decir que una cuerda de la mitad de longitud vibrará el doble de rápido.

Pero, ¿hay alguna razón por la que dos notas separadas por una octava suenen armoniosas?

¡Hay! Tomemos la cuerda más larga. Digamos que toca a C C.. Será un C low de tono bajo. Ahora, si pellizcas la cuerda en el medio, la cuerda vibrará de una manera perfectamente simétrica.

Hasta ahora todo bien.

Pero si no lo pellizcas en el medio, vibrará de una manera mucho más complicada. Una forma muy desagradable y complicada. Pero hay una cosa que sí sabemos sobre la vibración de la cuerda

¿Qué es?

Los puntos finales de la cadena son fijos. Y eso es muy importante.

¿Por qué?

Las únicas vibraciones simétricas que dejan fijos los puntos finales son las vibraciones que dividen perfectamente la cuerda en porciones de longitudes iguales. Estos se llaman armónicos de diferentes modos. Y sorprendentemente, podemos probar matemáticamente que cualquier vibración asimétrica de la cuerda larga es la suma de las vibraciones de los armónicos.

¡Esta descomposición es uno de los hechos más notables de las matemáticas! Se llama descomposición de Fourier, y resultó ser un componente esencial de muchas teorías, desde las que explican cómo nuestros oídos pueden oír y disfrutar de la música, hasta cómo se distribuye la materia por todo nuestro universo, ¡y hasta la física fundamental de las partículas elementales!

Ahora, como se puede imaginar, a menos que pellizque la cuerda en su extremidad, los armónicos más altos no serán lo suficientemente fuertes como para ser escuchados. De hecho, escucharemos principalmente los armónicos de los modos 1 y 2.

¡Lo entiendo! El modo 2 es precisamente la octava más alta?

¡Exactamente! Y esa es la razón por la que dos C Do sound suenan tan armoniosos: El tono bajo C Do also también «toca» el tono más alto. En cierto modo lo contiene, y por lo tanto, cuando nos movemos de uno a otro, nuestros oídos detectan un continuo armonioso.

De hecho, en nuestros oídos, las diferentes notas se escuchan por el pelo diminuto. Cada cabello es sensible a un tono específico. Al pasar de un do a otro, parte del cabello continuará con sus movimientos, y esto es lo que explica la armonía que siente nuestro cerebro.

Vamos a crear las Notas

Evidentemente, si la música solo estuviera hecha de octavas, sería un poco aburrido. Sería agradable, pero un poco monótono. Para ir más lejos necesitamos crear nuevas notas. Y lo haremos basándonos únicamente en los requisitos de armonía.

¿A qué te refieres con «crear nuevas notas»?

Consideremos una cadena de referencia, y digamos que reproduce la nota fundamental llamada 0 0.. Hemos visto que al reducir a la mitad la longitud de la cuerda, podríamos definir otras notas en perfecta armonía con el fundamental fundamental 0 fundamental. Y como lo hemos dicho, estas otras notas que difieren de oct 0 by por octavas se llaman 0 0$ también. Más formalmente, tomar octavas más altas y más bajas define todas las notas 0 0$ de la música.

Pero la música no está hecha sólo de $0$. Necesitamos más notas. ¿Cómo podemos crearlos a través de un proceso matemático coherente?

¿Qué hay de dividir la cadena en tercios?

¡Bingo! Como hemos visto antes, cuando se toca $0 hear, escuchamos todos sus armónicos. Además, los armónicos que más escucharemos serán los de modos más pequeños. Ahora, como hemos visto, los modos 1 y 2 son’s 0$. El siguiente es el modo 3. Este armónico de modo 3 no es una octava más alta, por lo que no es un harmonic 0 0. Tiene que ser un nuevo tipo de nota. Llamémoslo la nota 1 1$.

Fundamentalmente, la nota $1 is está contenida dentro de$ 0.. Cuando se toca 0 0 hear, escuchamos 1 1.. Y es por eso que las dos notas son armoniosas. Los músicos dicen que $1 is es el quinto perfecto de 0 0..

Has estado diciendo que las notas separadas por octavas o quintas perfectas suenan armoniosas?Pero ¿por qué debería creerte?

Escuchemos este video. El autor del video primero toca una serie de octavas, y luego una serie de quintas perfectas.

Bien, eso sonó bien de hecho. Pero, ¿por qué las quintas perfectas se llaman quintas perfectas?

Hablaré de eso más tarde (personalmente preferiría llamarlo un tercio perfecto)). Ahora que tenemos una nueva nota 1 1!, también podemos crear todas las notas! 1$! ¿Cómo?

Son octavas más altas y más bajas del 1 1 created que hemos creado!

¡Exactamente!

¡Genial! Pero entonces, ¿no podemos crear quintas perfectas de $1$?

Es una observación increíble que acabas de hacer. De hecho, así es como podemos crear todas las notas de la música: Simplemente hacemos la quinta perfecta de la última nota que hemos creado, ¡y sus octavas también! Así, construimos $2$ como el perfecto quinto de $1$, $3$ como el perfecto quinto de $2$, y así sucesivamente.

Como has notado, he dejado de dibujar las cadenas a las que corresponden las notas. Esto se debe a que las cuerdas de las notas altas son mucho más pequeñas que las de las notas bajas. Y la razón de eso es que todos estos procesos multiplicativos necesariamente varían en grandes escalas. Tales escalas no pueden ser representadas de una sola vez en una figura. Es por eso que, en su lugar, usamos las llamadas escalas logarítmicas que permiten contraer escalas reemplazando multiplicaciones por adiciones. Es por eso que todas las C C are están igualmente espaciadas en un teclado de piano. Lo que los separa se describe en términos de variaciones aditivas, en lugar de multiplicativas.

¿No se detiene este proceso de creación?

En principio, no debe detenerse. ¡Deberíamos crear infinidad de notas!

estás loco? ¿Cómo podemos componer música si hay infinitas notas?

Ese es un buen punto.

El Teorema de Imposibilidad de la Música

Deberíamos tener un número finito de notas. Pero eso solo puede suceder si alguna nota n n created que hemos creado es la» misma » que la nota 0 0.. Más precisamente, $n must debe ser unas octavas más altas que 0 0..

de Hecho, si $n$ es igual a $0$, entonces $n+k$ es igual a $k$. Por lo tanto, todas las notas son de hecho entre $0$ y $n-1$, y por lo tanto no son sólo $n$ las notas. Te dejaré probar el recíproco como un ejercicio, es decir, si hay notas de un número finito, entonces debe haber alguna nota n n n que sea la misma que la nota 0 0..

Desafortunadamente, no es demasiado difícil demostrar matemáticamente que esto no puede ser. Esto es lo que podría llamarse el teorema de imposibilidad de la música: La armonía perfecta en la música requiere un número infinito de notas musicales.

¿Por qué es eso?

Cualquier nota que hayamos creado se obtiene tomando tercios repetidamente. De hecho, la nota n n corresponds corresponde a una cuerda de longitud^1/3 ^ n n de la cuerda original. Además, su octava inferior $k^{th} is se obtiene duplicando k k times por la longitud de la cuerda. Por lo tanto, el $k^{th}$ octava inferior de la nota $n$ corresponde a una longitud de cadena que es de $2^k/3^n$ de la cadena original.

¡Ya veo! Por lo tanto, para que esta nota sea la misma que la nota original, debemos tener 2 2^k/3^n = 1?, ¿verdad?

¡Exactamente! En otras palabras, debemos tener $2^k = 3^n$. Pero desafortunadamente, esto no puede ser. Esta ecuación no tiene solución.

¿Cómo lo sabes?

El término izquierdo $2^k is es par pero $3^n is es impar. Un número par no puede ser impar

Buen punto Good Entonces, ¿qué? Estamos jodidos?

Antes de decirles lo que podemos hacer, permítanme exponer el teorema de imposibilidad de la música.

Más precisamente, cualquier nota se define físicamente por una frecuencia de vibración. Supongamos que tenemos una frecuencia de referencia. Luego, otras notas se pueden definir por cuánto mayor (en proporción) son. En otras palabras, podemos considerar el conjunto de notas como el conjunto \ \ mathbb R_ + ^* of de números reales estrictamente positivos. Luego tenemos el «separados por octavas» equivalencia de la relación entre la longitud de la cadena, que se define por $x \sim$ y si existe $k \in \mathbb Z$ tales que $x = 2^k$y. Llamemos a \ \ mathsf{Notas} the el espacio cociente \ \ mathbb R_ + ^ * / \ sim sim. Entonces, tenemos una función \ \ mathsf{PerfectFifth}: \mathsf{Notes} \rightarrow \mathsf{Notes}$, definida por $\mathsf{PerfectFifth} (x) = x/3.. Entonces, cualquier subconjunto $\mathsf{MusicalNotes} \subconjunto \mathsf{Notas}$ estable en $\mathsf{PerfectFifth}$ (es decir, tal que $\mathsf{PerfectFifth} (\mathsf{MusicalNotes}) \subconjunto \mathsf{MusicalNotes}$) es infinito.

El Teorema Fundamental de la música

Sin embargo, aquí hay una noticia de última hora positiva. A pesar del teorema de imposibilidad, los músicos todavía logran tocar música bastante buena.

Entonces, ¿cómo encontraron la armonía en las notas musicales?

¿sabes cuántas notas hay en una octava?

Bueno, hay $A$, $B$, $C$, $, D$, $E$, $F$ y $G$. Así, siete!

¿estás seguro? ¿No te olvidas de algo?

¡Oh sí! También hay $A\#$, $C\#$, $D\#$, $F\#$ y $G\#$. Eso es un total de doce notas!

Lo es, ¿verdad? Esto significa que algo ha sucedido cuando la nota $12$ ha sido creado. Esta nota corresponds 12 corresponds corresponde a dividir la longitud de la cadena por 3 3^{12}$. Esto es $3^{12} = 531441$. Sin embargo, también tenemos $2^{19} = 524288$. La proporción de estos iguales $2^{19}/3^{12} \aproximadamente 0,987$. Eso es casi 1!

¡Ya veo! Así que nota 1 12 is es casi un 0 0!!

Exactamente. De hecho, yo llamaría a la igualdad aproximada 2 2^{19} \approx 3^{12} theor el teorema fundamental de la música. Dicho de otra manera, dice que la nota 1 12 is es casi lo mismo que 0 0.. Y toda la música se ha basado en esta aproximación fundamental, a veces conocida como la coma pitagórica.

¡Podríamos haberlo hecho mejor! De hecho, podríamos haber utilizado la aproximación $2^{84}/3^{53} \aproximadamente 0,998$ para definir 53 notas. Incluso es posible hacerlo mejor, y la razón de ello radica en la irracionalidad de $\ln(3)/\ln(2)$. Más precisamente, mediante el logaritmo del conjunto $\mathsf{Notas}$ con la multiplicación puede ser demostrado ser isomorfo a la Mentira de grupo del círculo de $\mathbb R / \mathbb Z$, y el perfecto-quinto operador, a continuación, corresponde a la traducción por $\ln(3)/\ln(2)$ en el círculo de grupo. La teoría ergódica prueba entonces que la irracionalidad de $\ln (3) / \ln(2) shows muestra que la traducción se está mezclando. En particular, al repetir el quinto operador perfecto, podemos acercarnos arbitrariamente al punto original (esto también se puede probar usando el teorema de recurrencia de Poincaré). Pero de alguna manera, los músicos parecen considerar que 53 notas ya serían un poco demasiadas y que 0 0.987 is ya está lo suficientemente cerca de 1 1 They ¡Son incluso peores que los físicos!

Ahora que tenemos 12 notas, todos deberíamos ordenarlas no solo de acuerdo con la armonía que hemos hecho, sino de acuerdo con cómo encajan en una sola octava. Yo os dejo los cálculos, pero podemos ver que la nota ligeramente de tono más alto que $0$ es $7$, entonces $2$, $9$, $4$, $11$, $6$, $1$, $8$, $3$, $10$, $5$. Y luego volvemos a $0$.

Porque de Pitágoras coma, la siguiente nota de 5 $$ debe $12$, que es ligeramente inferior a la superior $0$. Para evitar la brecha abrupta ligeramente distinguible entre $12 and y 0 0., los afinadores de piano generalmente extienden la coma pitagórica dentro de cada quinta perfecta. Más precisamente, la diferencia entre notas sucesivas, que teóricamente debería ser $2^8/3^5$, se define como $\sqrt{2}$. Afortunadamente, esta ligera diferencia entre $2^8/3^5$ y $\sqrt{2}$ no es audible para el oído no entrenado! Por último, el hecho de que la diferencia entre dos notas sucesivas cualesquiera sea la misma significa que hay una especie de homogeneidad en las notas. Podemos cambiar todas las canciones en una proporción \ \ sqrt{2} and y todas las distancias (multiplicativas) entre notas, que es lo que solo escuchan los oídos inexpertos, serían las mismas.

Esa secuencia $0$, $7$, $2$, $9$, $4$, $11$, $6$, $1$, $8$, $3$, $10$, $5$… ¡Parece una lista aleatoria de números!

Mire con cuidado. No es una lista aleatoria en absoluto. Hay una estructura subyacente ordenada. De una nota a la siguiente, se suma 7 o se resta 5.

Más precisamente, siempre se suma 7, pero se resta 12 cuando el número que se obtiene supera el 12: La secuencia es una progresión aritmética con diferencia común 7, en el conjunto de números módulo 12. En otras palabras, es la secuencia 7 7k\; mod\; 12 Since Dado que 7 y 12 son coprimos, esta secuencia es sobreyectiva del rango 12.

Ahora, esto nos da dos formas diferentes de ordenar las notas de la música. Podemos ordenarlas por proximidad de tono en una octava, o podemos ordenarlas por armonía de quinta perfecta:

De hecho, las notas musicales no se pueden ordenar. De hecho, usted no puede decir que $C\#$ es «superior» a de $C$, debido a los bajos $C\#$ no es ciertamente mayor que el alto $C$. Se puede decir que es la nota «siguiente». Pero a medida que nos movemos en «siguiente», señala, como $D$, $D\#$, y así sucesivamente, finalmente llegamos de nuevo a $C\#$. Así que no es una relación de orden. Matemáticamente, por lo tanto, no hablamos de orden, sino de topología. Y porque al «seguir adelante» eventualmente volvemos al punto original, la topología natural de las notas musicales es la topología de un círculo. Pero tenga en cuenta que en realidad hay dos topologías. Uno es en términos de «siguiente tono más alto», y el otro es en términos de»quinto perfecto».

Finalmente, puedo explicar por qué el quinto perfecto se llama así. Como puedes ver en la figura, entre la nota n n + 1 is siempre hay 5 notas después de la nota n n n. Por eso decimos que n n+1 is es la quinta perfecta de n n n.

El Segundo Teorema de la Música

Una cosa que me preocupó al principio cuando escuché sobre las teorías musicales fue la idea de los acordes. Algunos trillizos de notas suenan bien, mientras que otros suenan terribles. Siempre pensé que esto se debía a nuestra educación: La buena música siempre se alinea con trillizos de buen sonido, y pensé que escucharlos repetidamente nos hacía gustarnos. Pero desde entonces me he topado con una explicación más fundamental que encuentro fascinante.

Espera What ¿Qué es un acorde bonito?

El más famoso de todos los acordes es la tríada mayor. Un ejemplo de una tríada mayor es el acorde C Do major mayor. El $C$ acorde mayor juega $C$, $E$ y $G$. Este acorde mayor es el acorde más famoso de la música. Y con razón. Suena extremadamente armonioso, a diferencia de otras elecciones aleatorias de tres notas.

Entonces, ¿por qué es armonioso?

Jeje Remember ¿Recuerdas cómo una cuerda vibrante se puede descomponer en modos?

Sí, lo recuerdo.

Por lo tanto, digamos que el modo 1 es $C.. Entonces, el modo 2 es

¡la C una octava más alta!

¡Sí! El modo 3 es

el quinto perfecto de C C C, que es G G?, ¿verdad?

Muy bueno. ¿Y el modo 4?

¡Otro C C two dos octavas más alto!

Excelente! Y ahora mode ¿qué pasa con el modo 5?

No lo sé Wait espera, ya veo a dónde quieres llegar’s es E E?, ¿no?

Humm Is ¿Es?

¿No es así?

Bueno, vamos a calcularlo! Recordemos que E E is es lo que construimos como la nota 4 4.. Por lo tanto, la longitud de la cadena a la que corresponde es $1/3^4 of de C C C. Consideremos ahora la octava 4 veces más alta. Corresponde a una longitud de 2 2^4/3^4 of de la de C C C. Bueno, $2^4/3^4 \ approx 0.198 \ approx 0.2 = 1/5$. ¿Sabes lo que eso significa?

¡Lo hago! ¡Significa que E es el modo 5 de la cadena!

¡Exactamente!

En otras palabras, cuando jugamos $C$, también oímos sus modos 2, 3, 4 y 5, que corresponde a $C$, $G$, $C$ e $E$. Jugando C, G y E, estamos amplificando las notas que ya estábamos oyendo! ¡Por eso el acorde mayor es tan armonioso!

Wow! Esto es genial!

¡Lo sé! De hecho, la intrincada relación entre C C and y E E has ha recibido un nombre. $E is se llama el tercio mayor de C C C. Esto significa que hay relaciones de armonía más intrincadas entre las notas musicales, a través de esta relación mayor-tercera.

¿Qué pasa con el acorde menor?

Es complicado. El acorde menor consiste en reemplazar la tercera mayor por otra nota llamada tercera menor. El tercio menor de la nota 0 0 is es la nota 3 3.. Pero este tercio menor no corresponde a ningún modo. Es un poco menos armonioso. Pero la desarmonía, o disonancia, puede estar en el centro de las composiciones de los mejores músicos. Al menos, esto es lo que argumentó para Beethoven por Natalya St. Clair en el siguiente increíble video:

Concluyamos

Hay un cliché por ahí según el cual el estudio matemático de los fenómenos artísticos conduce a un cierto deterioro de la belleza artística. Creo firmemente que esto es completamente falso. De hecho, mi experiencia personal ha sido en repetidas ocasiones exactamente lo contrario. Fue más bien cuando aprendí sobre la ciencia subyacente o las matemáticas de las artes que comencé a apreciar las obras maestras artísticas de la manera en que merecen ser apreciadas. Este ha sido totalmente el caso con mi apreciación de la música. Las matemáticas solo se suman a la experiencia musical. ¡Y, para mí, añade mucho!

¿En serio?

¡Te lo estoy diciendo! Pero si no confías en mí, por favor escucha al científico que probablemente transmitió mejor esta idea, el gran Richard Feynman:

Del mismo modo, he estado una y otra vez terriblemente emocionado por obras maestras artísticas cuyas estructuras matemáticas podía entender. Este fue especialmente el caso cuando me topé con una obra de François Morellet, cuando descubrí la naturaleza fractal de las pinturas de Jackson Pollock o el brillante uso de la geometría hiperbólica de Escher. En serio, aprende las matemáticas y verás el mundo entero a través de perspectivas mucho más emocionantes.