Der Legende nach ging der altgriechische Pythagoras einst auf den Straßen von Samos spazieren, als ihm die Geräusche des Schmiedehämmerns plötzlich eine Offenbarung gaben. Pythagoras eilte in den Laden und legte, als er die Formen der Schmiedehämmer mathematisch analysierte, den Grundstein für die Musik, auf der die heutigen Rihanna, Shakira und andere aufbauen.

Moment mal … Sprichst du von dem Typen aus dem Satz des Pythagoras?

Ich bin. Und trotz allem, was Sie in der Schule gelernt haben, ist dieser Satz des Pythagoras absolut nicht Pythagoras ‚größte Idee — vor allem, weil er wahrscheinlich nicht einmal derjenige war, der den Satz des Pythagoras erfunden hat. Zumindest denke ich das: Pythagoras ‚größte Idee war die Mathematisierung der Musik, deren harmonische Strukturen später der Spielplatz der größten Musiker wie Ludwig van Beethoven sein würden (wir kommen dorthin!), oder wie der brillante Mathematiker Vi Hart:

Ich war anfangs etwas zurückhaltend, diesen Artikel zu schreiben, weil ich sehr, sehr schlecht in der Musik bin. Ich habe noch nie Musikunterricht genommen, Ich spiele kein Instrument und singe schrecklich falsch – ernsthaft, bitte mich nicht zu singen! Aber ich höre gerne Musik … zumal ich die grundlegenden mathematischen Strukturen der Mathematik kennengelernt habe! Ich denke, es ist ein erstaunliches Beispiel dafür, wie Mathematik es mir ermöglicht hat, eine Kunst, der ich nie genug Aufmerksamkeit geschenkt habe, sehr zu schätzen!

Die Perfektion der Oktaven

Als Pythagoras anfing, mit Hämmern zu spielen, bemerkte er, dass zwei von ihnen besonders harmonisch zueinander waren. Er maß die Gewichte dieser Hämmer und fand etwas absolut Überraschendes heraus.

Was hat er herausgefunden?

Der schwerere der beiden Hämmer war genau doppelt so schwer wie der leichtere! Genau zweimal.

Genau zweimal? Wie kommt es?

Ich weiß! Was waren die Chancen? Pythagoras hatte sich ausschließlich aus musikästhetischen Erwägungen auf diese Hämmer konzentriert. Und doch, aus diesem persönlichen Geschmack der musikalischen Harmonie, entstand ein perfektes Verhältnis von 2.Okay, eigentlich ist diese schöne Geschichte wahrscheinlich apokryph … Aber gibt es eine Pythagoras-Geschichte, die nicht apokryph ist?

Das ist sehr überraschend… und faszinierend!

Ich weiß! In der Tat war es so ordentlich, dass Pythagoras behauptete, dass ganze Zahlen die Welt beherrschten … was anscheinend dazu führte, dass seine „Philosophieschule“ Hippasus von Metapontum ertränkte, weil Hippasus behauptete, im angeblich perfekten Bereich der Geometrie eine nicht perfekte Verhältniszahl gefunden zu haben!

Erfahren Sie mehr in meinem Artikel über Zahlen und Konstruierbarkeit.
Gibt es also eine Erklärung für dieses Verhältnis von 2?

Um dieses Verhältnis zu verstehen, wandte Pythagoras seine Aufmerksamkeit dem einfachsten Musikinstrument zu: Einer Saite. Könnte es sein, dass das Verhältnis von 2, das auf die Saite angewendet wird, auch eine gewisse musikalische Harmonie ermöglicht? Gibt es Harmonie zwischen der Schwingung der Saite und, sagen wir, der Schwingung der Hälfte der Saite?

Gibt es?

Gibt es. Heute wird diese essentielle Harmonie Oktave genannt. Tatsächlich sind Oktaven in der Musik so wichtig, dass wir zwei durch eine Oktave getrennten Noten denselben Namen gegeben haben. Weißt du? $ A $, $ B $, $ C $, $ D $, $ E $, $ F $, $ G $ … Zwei $ Cs $ sind durch genau eine Oktave getrennt. Wenn es sich um Noten handelt, die von einer Saite gespielt werden, entspricht eine einer Saite, die genau doppelt so lang ist wie die andere.

Okay, es war eine kleine Lüge. Was zählt, ist nicht die Länge der Saite, sondern die Frequenz, mit der sie vibriert. Je höher diese Frequenz, desto höher die Tonhöhe. Es stellt sich heraus, dass es für die meisten (musikalischen) Saiten eine gute Annäherung ist zu sagen, dass eine Saite mit halber Länge doppelt so schnell vibriert.
Aber gibt es einen Grund, warum zwei durch eine Oktave getrennte Noten harmonisch klingen?

Es gibt! Nehmen wir die längere Saite. Nehmen wir an, es spielt a $ C $. Es wird ein Low-Pitch $ C $ sein. Wenn Sie nun die Saite in der Mitte einklemmen, vibriert die Saite auf eine Art perfekt symmetrische Weise.

So weit so gut.

Wenn Sie es jedoch nicht in der Mitte einklemmen, vibriert es auf viel kompliziertere Weise. Eine sehr böse komplizierte Art und Weise. Aber eines wissen wir über die Vibration der Saite …

Was ist das?

Die Endpunkte des Strings sind fest. Und das ist sehr wichtig.

Warum?

Die einzigen symmetrischen Schwingungen, die die Endpunkte fixiert lassen, sind Schwingungen, die die Saite perfekt in gleich lange Abschnitte teilen. Diese werden Oberwellen verschiedener Moden genannt. Und erstaunlicherweise können wir mathematisch beweisen, dass jede asymmetrische Schwingung der langen Saite die Summe der Schwingungen der Oberwellen ist.

Diese Zerlegung ist eine der bemerkenswertesten Tatsachen der Mathematik! Es heißt Fourier-Zerlegung und erwies sich als wesentlicher Bestandteil vieler Theorien, von denen, die erklären, wie unsere Ohren Musik hören und genießen können, über die Verteilung der Materie in unserem Universum bis hin zur fundamentalen Physik der Elementarteilchen!

Wie Sie sich vorstellen können, sind die höheren Harmonischen nicht laut genug, um gehört zu werden, wenn Sie die Saite nicht an ihrem Ende einklemmen. Tatsächlich hören wir hauptsächlich die Obertöne der Modi 1 und 2.

Ich verstehe es! Modus 2 ist genau die höhere Oktave?

Genau! Und das ist der Grund, warum zwei $ C’s $ so harmonisch klingen: Das tiefe $ C $ „spielt“ auch das höhere. Es enthält es irgendwie, und wenn wir uns von einem zum anderen bewegen, erkennen unsere Ohren ein harmonisches Kontinuum.

Tatsächlich werden die verschiedenen Töne in unseren Ohren von winzigen Haaren gehört. Jedes Haar reagiert empfindlich auf eine bestimmte Tonhöhe. Wenn Sie sich von einem Ort zum anderen bewegen, werden einige der Haare ihre Bewegungen fortsetzen, und dies erklärt die Harmonie, die unser Gehirn dann empfindet.

Lassen Sie uns die Noten erstellen

Wenn Musik nur aus Oktaven bestehen würde, wäre es offensichtlich ein bisschen langweilig. Es wäre angenehm, aber ein bisschen monoton. Um weiter zu gehen, müssen wir neue Notizen erstellen. Und wir werden das ausschließlich auf der Grundlage der Anforderungen der Harmonie tun.

Was meinst du mit „neue Notizen erstellen“?

Betrachten wir eine Referenzzeichenfolge und nehmen wir an, sie spielt die Grundnote $ 0 $. Wir haben gesehen, dass wir durch Halbieren der Länge der Saite andere Noten in perfekter Harmonie mit dem fundamentalen $ 0 $ definieren können. Und wie gesagt, diese anderen Noten, die sich von $ 0 $ um Oktaven unterscheiden, werden auch $ 0 $ genannt. Formal definieren höhere und niedrigere Oktaven alle Noten $ 0’s $ der Musik.

Aber Musik besteht nicht nur aus $0’s$. Wir brauchen mehr Notizen. Wie können wir sie durch einen kohärenten mathematischen Prozess erstellen?

Was ist mit der Teilung der Zeichenkette in Drittel?

Bingo! Wie wir bereits gesehen haben, hören wir, wenn $ 0 $ gespielt wird, alle seine Harmonischen. Darüber hinaus werden die Harmonischen, die wir am meisten hören werden, die kleineren Moden sein. Nun, wie wir gesehen haben, sind die Modi 1 und 2 $ 0’s $. Als nächstes ist Modus 3. Dieser Modus 3 harmonische ist keine Oktave höher, so ist es nicht ein $0 $. Es muss eine neue Art von Notiz sein. Nennen wir es die Note $ 1 $.

Entscheidend ist, dass die Note $1$ in $0$ enthalten ist. Wenn $0$ gespielt wird, hören wir $1$. Und deshalb sind die beiden Noten harmonisch. Musiker sagen, dass $ 1 $ das perfekte Fünftel von $ 0 $ ist.

Sie haben gesagt, dass Noten, die durch Oktaven oder perfekte Quinten getrennt sind, harmonisch klingen … Aber warum sollte ich Ihnen glauben?

Hören wir uns dieses Video an. Der Autor des Videos spielt zuerst eine Reihe von Oktaven und dann eine Reihe von perfekten Quinten.

Okay, das klang wirklich gut. Aber warum werden perfekte Quinten perfekte Quinten genannt?

Darauf komme ich später noch zu sprechen (ich persönlich würde es lieber ein perfektes Drittel nennen…). Jetzt, da wir eine neue Note $ 1 $ haben, können wir auch alle Noten $ 1 $ erstellen! Wie?

Sie sind Oktaven höher und niedriger als die $ 1 $, die wir erstellt haben!

Genau!

Cool! Aber können wir dann nicht perfekte Fünftel von $ 1 $ schaffen?

Es ist eine großartige Beobachtung, die Sie gerade gemacht haben. In der Tat, das ist, wie wir alle Noten von Musik erstellen können: Wir machen nur die perfekte fünfte der letzten Note, die wir erstellt haben, und seine Oktaven als auch! Dabei konstruieren wir $ 2 $ als perfektes Fünftel von $ 1 $, $ 3 $ als perfektes Fünftel von $ 2 $ und so weiter.

Wie Sie bemerkt haben, habe ich aufgehört, die Saiten zu zeichnen, denen die Noten entsprechen. Das liegt daran, dass die Saiten von hohen Tönen viel kleiner sind als die von tiefen. Und der Grund dafür ist, dass all diese multiplikativen Prozesse notwendigerweise auf riesigen Skalen stattfinden. Solche Skalen können nicht auf einmal auf einer Figur dargestellt werden. Aus diesem Grund verwenden wir stattdessen sogenannte logarithmische Skalen, mit denen Skalen kontrahiert werden können, indem Multiplikationen durch Additionen ersetzt werden. Deshalb sind alle $ C’s $ auf einer Klaviertastatur gleich beabstandet. Was sie trennt, wird eher in additiven als in multiplikativen Variationen beschrieben.
Stoppt dieser Erstellungsprozess nicht?

Im Prinzip sollte es nicht aufhören. Wir sollten unendlich viele Notizen erstellen!

Bist du verrückt? Wie können wir Musik komponieren, wenn es unendlich viele Noten gibt?

Das ist ein guter Punkt.

Der Unmöglichkeitssatz der Musik

Wir sollten eine endliche Anzahl von Noten haben. Aber das kann nur passieren, wenn eine Note $ n $, die wir erstellt haben, „gleich“ ist wie die Note $ 0 $. Genauer gesagt muss $ n $ einige Oktaven höher als $ 0 $ sein.

Wenn $n$ dasselbe wie $0$ ist, ist jedes $n+k$ dasselbe wie $k$ . Daher liegen alle Noten tatsächlich zwischen $ 0 $ und $ n-1 $, und daher gibt es nur $ n $ Noten. Ich lasse Sie das Reziproke als Übung beweisen, nämlich wenn es eine endliche Anzahl von Noten gibt, dann muss es eine Note $ n $ geben, die der Note $ 0 $ entspricht.

Leider ist es nicht allzu schwer, mathematisch zu beweisen, dass dies nicht möglich ist. Dies könnte man den Unmöglichkeitssatz der Musik nennen: Perfekte Harmonie in der Musik erfordert eine unendliche Anzahl von Noten.

Warum ist das so?

Jede Note, die wir erstellt haben, wird durch wiederholtes Terznehmen erhalten. Tatsächlich entspricht die Note $ n $ einer Zeichenfolge der Länge $ 1/3 ^ n $ der ursprünglichen Zeichenfolge. Darüber hinaus wird seine untere Oktave $ k ^ {th} $ erhalten, indem das $ k $ -fache der Länge der Saite verdoppelt wird. Somit entspricht die untere Oktave $ k ^ {th} $ der Note $ n $ einer Saitenlänge, die $ 2 ^ k / 3 ^ n $ der ursprünglichen Saite beträgt.

Ich sehe! Damit diese Note der ursprünglichen Note entspricht, müssen wir $ 2 ^ k / 3 ^ n = 1 $ haben, oder?

Genau! Mit anderen Worten, wir müssen $ 2 ^ k = 3 ^ n $ haben. Aber das kann leider nicht sein. Diese Gleichung hat keine Lösung.

Woher weißt du das?

Der linke Term $ 2^k$ ist gerade, aber $3^n$ ist ungerade. Eine gerade Zahl kann nicht ungerade sein …

Guter Punkt … Also, was? Sind wir am Arsch?

Bevor ich Ihnen sage, was wir tun können, lassen Sie mich den Unmöglichkeitssatz der Musik formulieren.

Genauer gesagt wird jede Note physikalisch durch eine Schwingungsfrequenz definiert. Angenommen, wir haben eine Referenzfrequenz. Dann können andere Noten definiert werden, wie viel größer (im Verhältnis) sie sind. Mit anderen Worten, wir können die Menge der Noten als die Menge $ \ mathbb R_ + ^ * $ von streng positiven reellen Zahlen betrachten. Wir haben dann die „durch Oktaven getrennte“ Äquivalenzbeziehung zwischen der Stringlänge, definiert durch $x \sim y $, wenn $k \in \mathbb Z $ existiert, so dass $ x = 2 ^k y $ . Nennen wir $\mathsf{Notes}$ den Quotientenraum $\mathbb R_+^* / \sim$. Dann haben wir eine Funktion $\mathsf{PerfectFifth} : \mathsf{Notes} \rightarrow \mathsf{Notes}$, definiert durch $\mathsf{PerfectFifth}(x) = x/3$. Dann wird jede Teilmenge $ \ mathsf {MusicalNotes} \ subset \ mathsf{Notes} $ durch $ \ mathsf {PerfectFifth} $ ersetzt (dh $ \ mathsf {PerfectFifth} (\ mathsf{MusicalNotes}) \ subset \ mathsf{MusicalNotes} $) ist unendlich.

Das fundamentale Theorem der Musik

Hier ist jedoch eine positive Nachricht. Trotz des Unmöglichkeitssatzes schaffen es Musiker immer noch, ziemlich gute Musik zu spielen.

Wie haben sie Harmonie in Noten gefunden?

Wissen Sie, wie viele Noten es in einer Oktave gibt?

Nun, es gibt $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ und $G$. Also, sieben!

Bist du sicher? Vergisst du nicht was?

Oh ja! Es gibt auch $ A\# $, $ C\# $, $D\# $, $F\# $ und $ G\# $. Das sind insgesamt zwölf Noten!

Es ist, nicht wahr? Dies bedeutet, dass etwas passiert ist, wenn die Notiz $ 12 $ erstellt wurde. Dieser Hinweis $ 12 $ entspricht der Division der Zeichenfolgenlänge durch $ 3 ^ {12} $. Dies ist $3^{12} = 531441$. Aber wir haben auch $2^{19} = 524288$. Das Verhältnis dieser gleich $2^{19}/3^{12} \ ungefähr 0.987$. Das ist fast 1!

Ich sehe! Also beachten Sie $ 12 $ ist fast ein $ 0 $!

Genau. Tatsächlich würde ich die ungefähre Gleichheit $ 2 ^ {19} \ $ 3 ^ {12} $ den Fundamentalsatz der Musik nennen. Anders ausgedrückt, heißt es, dass die Note $ 12 $ fast die gleiche ist wie $ 0 $. Und die gesamte Musik hat auf dieser fundamentalen Annäherung aufgebaut, die manchmal als pythagoreisches Komma bezeichnet wird.

Wir hätten es besser machen können! In der Tat hätten wir die Annäherung verwenden können $2^{84}/3^{53} \ 0.998 $, um 53 Noten zu definieren. Es ist sogar möglich, es besser zu machen, und der Grund dafür liegt in der Irrationalität von $ \ln(3) / \ln(2) $. Genauer gesagt kann unter Verwendung des Logarithmus gezeigt werden, dass die Menge $ \ mathsf {Notes} $ mit Multiplikation isomorph zur Lie-Gruppe des Kreises $ \ mathbb R / \ mathbb Z $ ist, und der perfekt-fünfte Operator entspricht dann der Übersetzung durch $ \ ln (3) / \ ln (2) $ in der Kreisgruppe. Die Ergodentheorie beweist dann, dass die Irrationalität von $ \ ln (3) / \ ln (2) $ zeigt, dass die Übersetzung gemischt ist. Insbesondere durch Wiederholung des perfekt-fünften Operators können wir dem ursprünglichen Punkt beliebig nahe kommen (dies kann auch mit Poincarés Wiederholungssatz bewiesen werden). Aber irgendwie scheinen Musiker zu denken, dass 53 Noten schon etwas zu viel wären und dass $ 0.987 $ schon nahe genug an $ 1 $ sind … Sie sind noch schlimmer als Physiker!

Nun, da wir 12 Noten haben, sollten wir sie alle nicht nur nach Harmonie ordnen, wie wir es getan haben, sondern auch danach, wie sie in eine einzelne Oktave passen. Ich erspare Ihnen die Berechnungen, aber wir können sehen, dass die Note von etwas höherer Tonhöhe als $ 0 $ $ 7 $ ist, dann $2$, $9$, $4$, $11$, $6$, $1$, $8$, $3$, $10$, $5$. Und dann sind wir wieder bei $ 0 $.

Aufgrund des pythagoreischen Kommas sollte die Note nach $ 5 $ $ 12 $ sein, was etwas unter dem höheren $ 0 $ liegt. Um die abrupte, leicht unterscheidbare Lücke zwischen $ 12 $ und $ 0 $ zu vermeiden, verbreiten Klavierstimmer normalerweise das pythagoreische Komma innerhalb jeder perfekten Quinte. Genauer gesagt wird die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Noten, die theoretisch $ 2 ^ 8/3 ^ 5 $ betragen sollte, als $ \ sqrt{2} $ definiert. Glücklicherweise ist dieser geringfügige Unterschied zwischen $ 2 ^ 8/3 ^ 5 $ und $ \ sqrt{2} $ für das ungeübte Ohr nicht hörbar! Schließlich bedeutet die Tatsache, dass der Unterschied zwischen zwei aufeinanderfolgenden Noten gleich ist, dass es eine Art Homogenität in den Noten gibt. Wir können alle Songs um ein Verhältnis $ \ sqrt {2} $ verschieben und alle (multiplikativen) Abstände zwischen den Noten, die die ungeübten Ohren nur hören, wären gleich.

Diese Sequenz $0$, $7$, $2$, $9$, $4$, $11$, $6$, $1$, $8$, $3$, $10$, $5$… Es sieht aus wie eine zufällige Liste von Zahlen!

Schauen Sie genau hin. Es ist überhaupt keine zufällige Liste. Es gibt eine ordentliche zugrunde liegende Struktur. Von einer Note zur nächsten addieren Sie entweder 7 oder subtrahieren 5.

Genauer gesagt, Sie addieren immer 7, aber Sie subtrahieren 12, wenn die Zahl, die Sie erhalten, 12 überschreitet: Die Sequenz ist eine arithmetische Progression mit der gemeinsamen Differenz 7 in der Zahlenmenge modulo 12. Mit anderen Worten, es ist die Sequenz $ 7k \; mod \; 12 $ Da 7 und 12 coprime sind, ist diese Sequenz surjektiv von Rang 12.

Dies gibt uns nun zwei verschiedene Möglichkeiten, die Noten zu ordnen. Wir können sie entweder nach Tonhöhennähe in einer Oktave oder nach Harmonie der perfekten Quinte ordnen:

Tatsächlich können Noten nicht geordnet werden. In der Tat kann man nicht sagen, dass $ C \ # $ „höher“ als $ C $ ist, weil das niedrige $ C \# $ sicherlich nicht höher ist als das hohe $ C $. Sie können sagen, dass es die „nächste“ Note ist. Aber wenn wir zu den „nächsten“ Noten übergehen, wie $ D $, $ D \ # $ und so weiter, kommen wir schließlich zu $ C \# $ zurück. Es ist also keine große Bestellbeziehung. Mathematisch sprechen wir also nicht von Ordnung, sondern von Topologie. Und weil wir durch „Weitergehen“ schließlich zum ursprünglichen Punkt zurückkehren, ist die natürliche Topologie der Noten die Topologie eines Kreises. Beachten Sie jedoch, dass es tatsächlich zwei Topologien gibt. Einer ist in Bezug auf „nächsthöhere Tonhöhe“ und der andere in Bezug auf „perfekte Quinte“.

Schließlich kann ich erklären, warum die perfekte Fünfte so genannt wird. Wie Sie in der Abbildung sehen können, sind zwischen der Note $ n +1 $ immer 5 Noten nach der Note $ n $. Deshalb sagen wir, dass $ n + 1 $ das perfekte Fünftel von $ n $ ist.

Der zweite Satz der Musik

Eine Sache, die mich schon früh beunruhigte, als ich von Musiktheorien hörte, war die Idee der Akkorde. Einige Drillinge von Noten klingen gut, während andere schrecklich klingen. Ich dachte immer, dass dies wegen unserer Ausbildung war: Gute Musik immer aline gut klingende Drillinge, und ich dachte, dass sie immer wieder hören führte uns, sie zu mögen. Aber ich bin seitdem auf eine grundlegendere Erklärung gestoßen, die ich faszinierend finde.

Warte … Was ist ein schöner Akkord?

Der berühmteste aller Akkorde ist der Dur-Dreiklang. Ein Beispiel für einen Dur-Dreiklang ist der $ C $ -Dur-Akkord. Der $ C $ -Dur-Akkord spielt $ C $, $ E $ und $ G $. Dieser Dur-Akkord ist der berühmteste Akkord der Musik. Und mit Grund. Es klingt sehr harmonisch, im Gegensatz zu anderen zufälligen Entscheidungen von drei Noten.

Also, warum ist es harmonisch?

Hehe… Erinnerst du dich, wie eine vibrierende Saite in Modi zerlegt werden kann?

Ja, ich erinnere mich.

Sagen wir also, Modus 1 ist $C $. Dann ist Mode 2…

das C eine Oktave höher!

Ja! Modus 3 ist …

das perfekte Fünftel von $C $, was $ G $ ist, oder?

Sehr gut. Was ist mit Mode 4?

Noch $C$ zwei Oktaven höher!

Ausgezeichnet! Und jetzt … was ist mit Modus 5?

Ich weiß nicht … Warte, ich sehe, wo du hinkommst … Es ist $ E $, nicht wahr?

Humm… Ist es?

Nicht wahr?

Nun, lass es uns berechnen! Denken Sie daran, dass $ E $ das ist, was wir als Note $ 4 $ konstruiert haben. Die Länge der Zeichenfolge, der sie entspricht, beträgt also $ 1/3 ^ 4 $ von $ C $. Betrachten wir nun die Oktave 4 mal höher. Es entspricht einer Länge von $ 2 ^ 4/3 ^ 4 $ von $ C $. Nun, $ 2 ^ 4/3 ^ 4 \ ungefähr 0,198 \ ungefähr 0,2 = 1/5 $. Wissen Sie, was das bedeutet?

Das tue ich! Es bedeutet, dass E der Modus 5 der Zeichenfolge ist!

Genau!

Mit anderen Worten, wenn wir $C$ spielen, hören wir auch seine Modi 2, 3, 4 und 5, was $ C $, $ G $, $ C $ und $ E $ entspricht. Indem wir C, G und E spielen, verstärken wir die Noten, die wir bereits gehört haben! Deshalb ist der Dur-Akkord so harmonisch!

Wow! Das ist genial!

Ich weiß! Tatsächlich hat die komplizierte Beziehung zwischen $ C $ und $ E $ einen Namen erhalten. $ E $ wird das Hauptdrittel von $ C $ genannt. Dies bedeutet, dass es durch diese Dur-Terz-Beziehung kompliziertere Harmoniebeziehungen zwischen den Noten gibt.

Was ist mit dem Moll-Akkord?

Es ist schwierig. Der Moll-Akkord besteht darin, die Dur-Terz durch eine andere Note zu ersetzen, die als Moll-Terz bezeichnet wird. Das kleine Drittel der Note $0 $ ist die Note $ 3 $. Diese kleine Terz entspricht jedoch keinem Modus. Es ist ein bisschen weniger harmonisch. Aber Disharmonie oder Dissonanz kann im Kern der Kompositionen der größten Musiker liegen. Zumindest hat sich Natalya St. Clair im folgenden fantastischen TEDEd-Video dafür ausgesprochen:

Lassen Sie uns schließen

Es gibt ein Klisché, nach dem die mathematische Untersuchung künstlerischer Phänomene zu einer gewissen Verschlechterung der künstlerischen Schönheit führt. Ich bin der festen Überzeugung, dass dies völlig falsch ist. Tatsächlich war meine persönliche Erfahrung wiederholt genau das Gegenteil. Es war eher, als ich über die zugrunde liegende Wissenschaft oder Mathematik der Künste erfuhr, dass ich anfing, künstlerische Meisterwerke so zu schätzen, wie sie es verdienen, geschätzt zu werden. Dies war bei meiner Wertschätzung der Musik völlig der Fall. Mathematik trägt nur zum musikalischen Erlebnis bei. Und für mich fügt es viel hinzu!

Wirklich?

Ich sage es dir! Aber wenn Sie mir nicht vertrauen, hören Sie bitte dem Wissenschaftler zu, der diese Idee wahrscheinlich am besten vermittelt hat, dem großen Richard Feynman:

Ebenso war ich immer wieder schrecklich begeistert von künstlerischen Meisterwerken, deren mathematische Strukturen ich verstehen konnte. Dies war besonders der Fall, als ich auf ein Werk von François Morellet stieß, als ich die fraktale Natur von Jackson Pollocks Gemälden oder Eschers brillante Verwendung hyperbolischer Geometrie entdeckte. Ernsthaft, lerne die Mathematik und du wirst die ganze Welt durch viel aufregendere Perspektiven sehen!

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