Vivek Palaniappan

Følg
23. September 2018 · 6 min læs
Sep 23, 2018 * 6 min læs

dette indlæg handler organer kaldet tennisracket sætning.

tennisracket-sætningen siger, at et objekt med tre unikke inertimomenter, rotation omkring aksen for mellemliggende inertimoment er ustabil, mens rotation omkring de to andre akser er stabil.

Ved første øjekast kan denne sætning virke kompliceret, og for dem, der ikke er bekendt med stiv kropsdynamik, måske endda skræmmende. Men som med noget kompliceret synes nedbrydning i mindre, mere grundlæggende dele at belyse, hvad sætningen faktisk betyder. De næste par dele af denne artikel med diskutere de forskellige aspekter af sætningen, og endelig vil vi binde sammen alt, sammen med en demonstration.

inertimoment

inertimoment kan fortolkes som rotationsbevægelsens modstykke til masse. Lad mig forklare: i lineær bevægelse beskrives bevægelsen af Nytons anden lov

i rotationsbevægelse erstattes accelerationen imidlertid af Vinkelacceleration, og kraft erstattes af øjeblik (eller drejningsmoment for amerikanerne). Udskiftningen af masse er inertimoment. Så nu er Nytons anden lov skrevet som

inertimoment er skrevet som jeg og for tredimensionelle objekter er inertimoment normalt et inertimoment.

de, der er bekendt med matricer, kan undre sig, hvad ville det betyde at diagonalisere inertimomentet. Hvis du diagonaliserer inertimomentet, får du en matrice, hvor det nye koordinatsystem repræsenterer objektets hovedakse, og de diagonale udtryk er inertimomentet er hver eneste af disse akser. Der er to måder at finde den diagonaliserede moment inerti matricen. Den nemme måde er at observere objektets geometri, da nogle gange (i de fleste almindelige former) er hovedakserne indlysende. Men for at være streng i afledningen kan du bruge en standard matrice diagonalisering fra elementær lineær algebra. The procedure will be as follows

Find the eigenvalues of inertia matrix.

Find eigenvector matrix P of inertia matrix.

  1. Use P-1IP to get diagonalised inertia matrix.

værdierne i den diagonale matrice vil give os mulighed for at forstå tennisracket-sætningen. For de af jer er skarpe, vil du bemærke, at aksen for mellemliggende inertimoment er egenvektoren for den mellemliggende egenværdi.

Euler ligninger

nyheds anden lov for rotationsbevægelse bliver meget kompliceret at arbejde med meget hurtigt. Så Euler brugte diagonaliseringen som en måde at forenkle og adskille de tre ligninger i den anden lov. The Euler equations are as follows

Breaking this component wise, in the principal axes

Jeg vil ikke gå i dybden i afledningen, men jeg vil skitsere tankekæden. Overvej denne alternative version af Nytons lov

udvidelse af den anden ligning giver dig Eulers bevægelsesligning for stive kroppe.

forståelse af sætningen

nu hvor vi har vores forudsætninger, kan vi fortsætte med at forstå sætningen. Overvej en inertimatrice (diagonaliseret) med inertimoment I1 og I2 og I3, således at I1 er den mindste og I3 er den største. Overvej nu bevægelse om aksen for det store inertimoment, I3. Lad vinkelhastighedsvektoren være

hvor epsilonerne er små forstyrrelser i de to andre hovedakser.

Now plugging this into Euler equations, we obtain

Now we differentiate the second Euler equation

Substituting in our expression for omega 1 and omega 3, and since multiplying the epsilons makes it small enough to ignore,

This gives us a differential equation for omega 2 of the form

Whose solution is elementary

derfor ved vi, at rotationsforstyrrelse i omega 1-aksen er stabil og gennemgår periodisk bevægelse, eller i terminologien for stiv kropsbevægelse gennemgår den præcession.

forstyrrelsen i omega 3 følger et lignende argument som ovenfor, og jeg vil overlade det til dig som en øvelse for at arbejde det igennem.

For the intermediate axis, we have

Plugging into the Euler equations

Differentiating the third Euler equation

Substituting our derived expresssions

Now, when we rearrange, we derive the following differential equation

Notice that the coefficient is now positive, which therefore results in exponential solutions

denne løsning viser, at omega 3 er ustabil under forstyrrelse af omega 2 langs mellemaksen.

konklusion

nu kan vi binde alt, hvad vi har afledt og lært at forstå sætningen. Kort sagt, når rotationen langs mellemaksen forstyrres, resulterer det i en differentialligning, der har eksponentielle løsninger. Dette resulterer i ustabil bevægelse, i modsætning til den præcessive bevægelse observeret i de to andre akse.

dette resultat er ret overraskende. Der er ingen intuitiv opbakning til en sådan sætning, da vi ikke kan tænke på, hvorfor det mellemliggende inertimoment ville resultere i ustabil rotation. Det virker som om det er rent matematisk.

men hvis vi forsøger at tvinge en form for intuition til ræsonnementet i denne sætning, kommer vi til følgende vage ide:

når der er en forstyrrelse i rotationen langs hoved-eller mindreaksen, virker systemet for at mindske forstyrrelsen sammen med forstyrrelsen i de to andre akser, der danner et sinus-og cosinuspar, der negerer hinanden. Dette medfører præcession. Men når der er en forstyrrelse i rotationen langs mellemaksen, virker systemet for at øge forstyrrelsen. Med andre ord forstærker forstyrrelsen i de to andre akser hinanden og øges eksponentielt, hvilket skaber ustabil rotation.

Hvis du vil se denne sætning i aktion, skal du hente din telefon, sørge for at have et robust telefondæksel og begynde at vende din telefon på alle tre akser. Du vil bemærke, at i en af akserne vil rotationen være kaotisk, og nu vil du vide grunden til det!

Skriv et svar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret.