Vivek Palaniappan

Sledovat

Sep 23, 2018 · 6 min číst

Tento příspěvek je o zmatené otáčení těla a slavná věta, otáčení tuhého těla nazývaná věta o tenisové raketě.

Tenisová Raketa Věta uvádí, že objekt s tři jedinečné momenty setrvačnosti, rotace kolem osy zprostředkující moment setrvačnosti je nestabilní, zatímco otáčení o další dvě osy je stabilní.

na první pohled se tato věta může zdát komplikovaná a těm, kteří nejsou obeznámeni s dynamikou tuhého těla, možná dokonce skličující. Stejně jako u všeho komplikovaného se však zdá, že rozdělení na menší, zásadnější části objasňuje, co věta ve skutečnosti znamená. V příštích několika částech tohoto článku se diskutuje o různých aspektech věty a nakonec vše spojíme spolu s demonstrací.

Moment setrvačnosti

Moment setrvačnosti lze interpretovat jako rotační pohybový protějšek hmotnosti. Dovolte mi to vysvětlit: v lineární pohyb, pohyb je popsán Druhý Newtonův Zákon.

Nicméně, v rotační pohyb, zrychlení je nahrazeno úhlové zrychlení a síly je nahrazena chvíli (nebo točivého momentu pro Američany). Náhradou za hmotu je Moment setrvačnosti. Tak teď druhý Newtonův Zákon je napsán jako

Moment setrvačnosti je napsán jako já a pro trojrozměrné objekty, moment setrvačnosti je obvykle moment setrvačnosti matice.

ti, kteří jsou obeznámeni s maticemi, by se mohli divit, co by to znamenalo diagonalizovat moment setrvačné matice. Pokud diagonalizujete moment setrvačné matice, dostanete matici, kde nový souřadnicový systém představuje hlavní osu objektu a diagonální výrazy jsou moment setrvačnosti je každá z těchto OS. Existují dva způsoby, jak najít diagonalizovaný moment setrvačné matice. Snadný způsob je pozorovat geometrii objektu, protože někdy (ve většině běžných tvarů) jsou zřejmé hlavní osy. Nicméně, být přísný v odvození, můžete použít standardní maticovou diagonalizaci z elementární lineární algebry. The procedure will be as follows

Find the eigenvalues of inertia matrix.

Find eigenvector matrix P of inertia matrix.

  1. Use P-1IP to get diagonalised inertia matrix.

Hodnot v diagonální matice je nám umožní pochopit Tenisová Raketa Věta. Pro ty z vás jsou ostré, všimnete si, že osa mezilehlého momentu setrvačnosti je vlastní vektor mezilehlého vlastního čísla.

Eulerovy rovnice

Newtonův druhý zákon pro rotační pohyb se velmi rychle komplikuje. Euler tedy použil diagonalizaci jako způsob, jak zjednodušit a oddělit tři rovnice v Newtonově druhém zákoně. The Euler equations are as follows

Breaking this component wise, in the principal axes

nebudu zacházet do hloubky odvození, ale budu nastínit řetěz myšlení. Považovat tento alternativní verze Newtonův zákon.

Rozšiřující druhé rovnice vám Eulerova pohybová rovnice pro tuhé těla.

pochopení věty

Nyní, když máme své předpoklady, můžeme pokračovat v pochopení věty. Uvažujme setrvačnou matici (diagonalizovanou) s momentem setrvačnosti I1 a I2 a I3 tak, že I1 je nejmenší a I3 je největší. Nyní zvažte pohyb kolem osy hlavního momentu setrvačnosti, I3. Ať úhlová rychlost vektoru bude

kde epsilons jsou malé odchylky v dalších dvou hlavních os.

Now plugging this into Euler equations, we obtain

Now we differentiate the second Euler equation

Substituting in our expression for omega 1 and omega 3, and since multiplying the epsilons makes it small enough to ignore,

This gives us a differential equation for omega 2 of the form

Whose solution is elementary

Proto víme, že odchylka rotace v omega 1 osa je stabilní a dochází k pravidelným pohybem, nebo v terminologii pohybu tělesa, prochází precese.

šumů na omega 3 následuje podobný argument jako výše, a nechám to na vás, jako cvičení, aby si to projít.

For the intermediate axis, we have

Plugging into the Euler equations

Differentiating the third Euler equation

Substituting our derived expresssions

Now, when we rearrange, we derive the following differential equation

Notice that the coefficient is now positive, which therefore results in exponential solutions

Toto řešení ukazuje, že omega-3 je nestabilní pod rozrušení omega 2 podél střední osy.

závěr

Nyní můžeme spojit vše, co jsme odvodili a naučili se porozumět větě. Jednoduše řečeno, když je rotace podél mezilehlé osy narušena, výsledkem je diferenciální rovnice, která má exponenciální řešení. To má za následek nestabilní pohyb, na rozdíl od precesivního pohybu pozorovaného v dalších dvou osách.

tento výsledek je poněkud překvapivý. Neexistuje žádná intuitivní podpora takové věty, protože nemůžeme přemýšlet o tom, proč by přechodný Moment setrvačnosti vedl k nestabilní rotaci. Zdá se, jako by to bylo čistě matematické povahy.

Pokud se však pokusíme vynutit nějakou formu intuice do odůvodnění této věty, dospějeme k následující vágní myšlence:

Když je odchylka v rotaci podél hlavní nebo vedlejší osy, systém se chová ke snížení šumů, spolu s šumů v dalších dvou osách tvoří sinus a kosinus pár, negace navzájem. To způsobuje precesi. Pokud však dojde k narušení rotace podél mezilehlé osy, systém působí na zvýšení poruchy. Jinými slovy, perturbace v dalších dvou osách se navzájem posilují a exponenciálně se zvyšují, což vytváří nestabilní rotaci.

Pokud chcete vidět tato věta v akci, zvednout telefon, ujistěte se, že máte robustní kryt telefonu a začít obracející svůj telefon na všech třech jeho osách. Všimnete si, že v jedné z OS bude rotace chaotická a nyní budete znát důvod proč!

Napsat komentář

Vaše e-mailová adresa nebude zveřejněna.